學子專區論壇—ADALM2000實驗：主動濾波—第2部分
前言：
作者：ADI系統應用工程師Antoniu Miclaus 及顧問研究員 Doug Mercer
二階主動濾波器
在上一篇學子專區文章「ADALM2000實驗：主動濾波——第1部分」中，您可能已經注意到主動低通/高通濾波器與主動帶通/帶阻濾波器之間的差異。是什麼使帶通濾波器和帶阻濾波器成為二階濾波系統?二階濾波器的電路中有兩個電抗元件，這會影響濾波器的頻率響應。在電路配置中增加電抗元件，如串聯兩個一階濾波器，可使增益滾降率加倍，達到-40 dB/滾降。
二階濾波器是另一種重要的主動濾波器設計，可以搭配主動一階RC濾波器來建構模組，用於設計更高階的濾波器電路。二階濾波器也被稱為VCVS濾波器，因為運算放大器用於電壓控制電壓源放大器。
其他還有許多二階濾波器配置，如Butterworth、Chebyshev、Bessel和 Sallen-Key。Sallen-Key濾波器設計簡單，因此成為較常用的二階濾波器設計。該元件只需要四個被動RC元件來進行頻率調諧，以及一個運算放大器進行增益控制。
Sallen-Key二階低通濾波器
圖1. Sallen-Key二階低通濾波器
圖1顯示了Sallen-Key二階低通濾波器的基本配置。該濾波器電路具有兩個RC網路，可以為濾波器提供頻率響應特性。R1-C1和R2-C2網路定義濾波器的截止頻率，該頻率可透過下列公式計算得出，
放大器的增益A是同相放大器的增益。因此可以利用之前在第1部分中用過的公式，
我們之前在帶通和帶阻濾波器等二階系統中曾經探討過另一個概念，即品質因數。Sallen-Key品質因數可透過下列公式計算得出，
Q的值也可與系統的阻尼相關。阻尼與Q的關係可以概括如下
• 當Q>½時，濾波器欠阻尼。當Q因數僅略大於1/2時，濾波器可能會振盪一次或兩次，和圖1中Q=1的主動低通濾波器一樣。br>
• 當Q< ½時，濾波器過阻尼。這些濾波器的頻率響應沒有過沖，並且又長又平坦。
• 當Q=½時，濾波器處於臨界阻尼狀況。回應接近穩定狀態，沒有過沖。
Q和A之間的關係是Sallen-Key配置的關鍵因素，但也是此種配置的一個限制。Q必須大於½，因為A必須大於1。
硬體設定
建構圖2所示的試驗板電路。使用 ADALM2000的正負電源。
圖2. Sallen-Key二階低通濾波器試驗板連接
程式步驟
將通道1設定為參考。將幅度設定為200 mV，偏置設定為0 V。在顯示設定下，將幅度設定為-20 dB至+15 dB，相位設定為-270°至+90°。將樣本計數設定為100。重新打開電源，並運行從100 Hz到500 kHz的頻率掃描。參見圖3。
圖3. Sallen-Key二階低通濾波器頻率響應
Sallen-Key二階高通濾波器
現在來看圖4中所示的Sallen-Key高通濾波器配置。
圖4. Sallen-Key二階高通濾波器
該配置與低通配置相似，只不過電阻和電容的位置互換。二階Sallen-Key濾波器也被稱為正回饋濾波器，因為輸出會回送到運算放大器的正輸入端。
硬體設定
建構圖5所示的試驗板電路。使用ADALM2000的正負電源。
圖5. Sallen-Key二階高通濾波器試驗板連接
程式步驟
將通道1設定為參考。將幅度設定為200 mV，偏置設定為0 V。在顯示設定下，將幅度設定為-35 dB至+15 dB，相位設定為-90°至+180°。將樣本計數設定為100。重新打開電源，並運行從7.5 kHz到1 MHz的頻率掃描。參見圖6。
圖6. Sallen-Key二階高通濾波器頻率響應
Sallen-Key帶通濾波器
Sallen-Key濾波器的帶通配置具有很大的侷限性。Q值決定濾波器增益，也就是說無法像低通和高通濾波器那樣獨立設定。電壓增益可透過公式4計算。
圖7所示為Sallen-Key二階帶通濾波器配置。
圖7. Sallen-Key二階帶通濾波器
硬體設定
建構圖8所示的試驗板電路。使用ADALM2000的正負電源。
圖8. Sallen-Key二階帶通濾波器試驗板連接
程式步驟
將通道1設定為參考。將幅度設定為200 mV，偏置設定為0 V。在顯示設定下，將幅度設定為-35 dB至+5 dB，相位設定為-180°至+180°。將樣本計數設定為100。重新打開電源，並運行從7.5 kHz到1 MHz的頻率掃描。參見圖9。
圖9. Sallen-Key二階帶通濾波器頻率響應
另外還可以設計Sallen-Key陷波濾波器，但此種濾波器存在一些不良特性。由於元件會相互影響，因此無法輕鬆調節諧振頻率或陷波頻率。本實驗活動不考慮這部分內容。不過，您可以嘗試在 LTspice®中對Sallen-Key陷波濾波器電路進行模擬。
其他濾波器配置
狀態變數濾波器
狀態變數濾波器配置可以準確實現濾波器功能，但其代價是電路元件數量大增。全部三個主要參數（增益、Q和fr）都可以單獨調節，同時提供低通、高通和帶通三種輸出。陷波和全通濾波器也可以使用狀態變數濾波器進行配置。利用增加的放大器 部分對低通部分和高通部分求和，還可以整合陷波功能。透過從輸入端減去帶通輸出，利用四個放大器配置也可以建構全通濾波器。圖10所示的是輸出低通、高通和帶通頻率響應的狀態變數濾波器配置。
圖10. 狀態變數濾波器
透過改變R4和R5即可對狀態變數濾波器的諧振頻率進行調諧。儘管不必同時對二者進行調節，但如果變化範圍較大，則還是以同時調節為上。使R1保持不變，調節R7會設定低通增益，調節R2則設定高通增益。帶通增益和Q則透過R3與R7之比設定。需要注意的是，低通和高通輸出的相位會反轉，而帶通輸出的相位則保持不變。
硬體設定
建構圖11所示的試驗板電路。
圖11. 狀態變數濾波器試驗板連接
程式步驟
將通道2連接到低通濾波器輸出。將通道1設定為參考。將幅度設定為200 mV，偏置設定為0 V。在顯示設定下，將幅度設定為-40 dB至+30 dB，相位設定為-45°至+180°。將樣本計數設定為100。重新打開電源，並運行從100 Hz到250 kHz的頻率掃描。參見圖12。
圖12. 狀態變數濾波器，低通頻率響應
現在，嘗試將通道2連接到帶通或低通輸出，並運行掃描。
Tow-Thomas濾波器
Tow-Thomas濾波器也屬於二階主動濾波器，有時也被稱為雙二階(biquad)濾波器。圖13所示為Tow-Thomas（雙二階）濾波器。
圖13. Tow-Thomas濾波器電路
與狀態變數(KHN)濾波器一樣，Tow-Thomas濾波器可調諧：調節R3可更改Q因數，調節R4可更改諧振頻率，調節R1可設定增益。為儘量減小元件值交互的影響，先調節諧振頻率，然後調節Q，最後調節增益。Tow-Thomas濾波器的頻寬由公式5定義。
如果仔細觀看，就會發現Tow-Thomas濾波器配置是對狀態變數濾波器略微重新調整的結果。其沒有單獨的高通輸出，但會產生兩個低通輸出（一個同相和一個錯相），以及一個反相的帶通輸出。每個輸出的連接如圖13所示。然而，在目前濾波器配置中增加第四個放大器後，就可以得到高通、陷波或全通濾波器。全通濾波器為電路增加了相移響應特性，同時訊號幅度不受影響。其為所有頻率提供單位增益。
硬體設定
建構圖14所示的試驗板電路。將正電源設定為+5 V，負電源設定為-5 V。
圖14. Tow-Thomas濾波器電路試驗板連接
程式步驟
設定為對數掃描，其中通道1設定為參考，幅度設定為200 mV，偏置設定為0 V，樣本計數設定為75。在顯示設定下，將幅度設定為-60 dB至+30 dB，相位設定為-30°至+210°。重新打開電源，並運行從100 Hz到500 kHz的單次頻率掃描。參見圖15。
圖15. Tow-Thomas濾波器電路頻率響應
雙T陷波濾波器
圖16所示電路是雙T陷波濾波器。其可用於通用型陷波（窄帶阻）電路。回想一下，帶阻濾波器衰減並遮罩其較低截止頻率和較高截止頻率之間的頻率訊號。
圖16. 雙T陷波濾波器電路
雙T陷波濾波器電路由兩個T形網路組成：一個RCR T網路和一個CRC T網路。電阻R1和R2與電容C3構成RCR T網路，而電容C1和C2與電阻R3構成CRC T網路。設計配置如公式6和公式7所示。
記下R和C的值。這兩個值決定了濾波器的中心陷波頻率fo，如公式8所示：
在被動實現方案中，雙T陷波濾波器的Q值固定為0.25。對參考節點進行正回饋能夠解決這個問題。透過在濾波器的輸出端使用R4和R5設定分壓器並將其連接到電壓跟隨器，即可實現這個目標。然後，電壓跟隨器的輸出並將重新提供給R3和C3的接合點。
訊號回饋由電阻R4和R5提供，R4和R5決定濾波器的Q值和陷波深度。品質因數由公式9確定。
為實現最大陷波深度，去除電阻R4和R5以及與之相連的運算放大器，並將R3和C3之間的接合點直接連接到輸出。
硬體設定
在試驗板上建構圖17所示的電路。使用ADALM2000的正負電源。圖18將R4和R5替換成電位計，進而提高對電路Q值的控制。
圖17. 雙T陷波濾波器電路試驗板連接
圖18. 具有電位元計的雙T陷波濾波器電路試驗板連接
程式步驟
設定為對數掃描，其中通道1設定為參考，幅度設定為200 mV，偏置設定為0 V，樣本計數設定為100。在顯示設定下，將幅度設定為-25 dB至+5 dB，相位設定為-140°至+80°。打開+5 V和-5 V電源，並從30 kHz掃描至300 kHz。參見圖19。
圖19. 雙T陷波濾波器電路頻率響應
電路的頻率響應與您的模擬結果相似。
問題
請看圖1所示電路，透過替換R3和R4的值來改變放大器的增益。您是否觀察到頻率響應發生了什麼變化？
答案可以參考 學子專區部落格。
